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【试题练习】

某学校共有学生200人，学校为发展学生的才艺，要求每位学生必须至少选修一门艺术课。现已知选绘画的有102人，声乐课的有126人，书法课的有84人。如选1门课的人数为X，3门课都选的人数为Y，问X和Y一定满足以下哪种关系？

A.X－2Y＝32

B.X＋2Y＝200

C.X－Y＝88

D.X＋Y＝156

正确答案：C

【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。
第二步，由“要求每位学生必须至少选修一门艺术课”，可知没有选修任何课程的人数为0，即选1门课的＋选2门课的＋选3门课的＝总人数。因已知选1门课的人数为X，3门课都选的人数为Y，故可设选2门课的人数为Z，由“某学校共有学生200人”可得： X＋Z＋Y＝200。
第三步，已知选绘画的有102人，声乐课的有126人，书法课的有84人，选2门课的人数为Z，3门课都选的人数为Y，代入三集合非标准型公式得：102＋126＋84－Z－2Y＝200，化简为Z＝112－2Y，代入“X＋Z＋Y＝200”得X－Y＝88。
因此，选择C选项。